Question

已知函數(shù)，并且f（0）=0，f（2）=2，．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）是否存在各項均不為零的數(shù)列{a_n}，滿足（S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和）．若有，寫出數(shù)列的一個通項公式a_n，并說明滿足條件的數(shù)列{a_n}是否唯一確定；若無，請說明理由．

Answer 1

（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）由f（0）=0，得a=0．
由f（2）=2，，得，即．…（3分）
解得 b=c=2．
因此，a=0，b=c=2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．當x≠0且a_n≠1時，，．
設(shè)存在各項均不為零的數(shù)列{a_n}，滿足．則4S_n=2a_n-2a_n²，即2S_n=a_n-a_n²（a_n≠0且a_n≠1）．…（6分）
首先，當n=1時，a₁=S₁=-1；…（7分）
由 2S_n+1=a_n+1-a_n+1²，2S_n=a_n-a_n²，得2a_n+1=2S_n+1-2S_n=a_n+1-a_n+1²-a_n+a_n²，即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0．…（9分）
若 a_n+1+a_n=0，則由a₁=-1，得a₂=1，這與a_n≠1矛盾．…（10分）
若 a_n+1-a_n+1=0，則 a_n+1-a_n=-1．
因此，{a_n}是首項這-1，公差為-1的等差數(shù)列．
通項公式為 a_n=-n．
綜上可得，存在數(shù)列{a_n}，a_n=-n符合題中條件．…（11分）
由上面的解答過程可知，數(shù)列{a_n}只要滿足條件（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0即可．
因此，可以數(shù)列一部分滿足a_n+1-a_n=-1，另一部分滿足a_n+1+a_n=0，且保證a_n≠0且a_n≠1．
例如：數(shù)列-1，-2，2，-2，2，-2，2，…；
數(shù)列-1，-2，2，-2，-3，3，-3，-4，4，-4，…
因此，滿足條件的數(shù)列不唯一．…（14分）
分析：（Ⅰ）由已知，得出關(guān)于a，b，c的不等式組，并注意b，c均為正整數(shù)，求解即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．設(shè)存在各項均不為零的數(shù)列{a_n}，滿足．則4S_n=2a_n-2a_n²，即2S_n=a_n-a_n^2，_再根據(jù)Sn與an的固有關(guān)系，得出（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0后，問題容易獲解．
點評：本題是函數(shù)與不等式、數(shù)列的綜合，考查不等式求解，函數(shù)值計算、數(shù)列的性質(zhì)．考查計算、轉(zhuǎn)化、推理論證能力．