Question

7．已知函數y=cos2x+2cos（x+$\frac{π}{2}$），則y的取值范圍是[-3，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 利用二倍角，誘導公式化簡，轉化為二次函數即可求y的取值范圍．

解答 解：函數y=cos2x+2cos（x+$\frac{π}{2}$）=1-2sin²x-2sinx=1-2（sin²x+sinx+$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$-2（sinx+$\frac{1}{2}$）²．
當sinx=$-\frac{1}{2}$時，y可取得最大值為$\frac{3}{2}$．
當sinx=1時，y可取得最小值為sinx=$\frac{3}{2}-2×\frac{9}{4}$=-3．
則y的取值范圍是[-3，$\frac{3}{2}$]．
故答案為：[-3，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查了函數值域的問題，利用了二倍角，誘導公式化簡，二次函數的性質的運用，屬于基礎題．