Question

已知點(diǎn)P是雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1上一點(diǎn)，M，N是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，若直線PM的斜率的取值范圍是[2，3]，則直線PN的斜率的取值范圍是（　�。�

• A、[1，

  3

  2

  ]
• B、[

  3

  2

  ，2]
• C、[

  3

  2

  ，

  5

  2

  ]
• D、[2，

  5

  2

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出M、N的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足橢圓的方程，計(jì)算直線PM的斜率與直線PN的斜率之積等于定值，求出PM的斜率取最值時(shí)，PN的斜率的值，即得PN的斜率的取值范圍．

解答： 解：M（-2，0）、N（2，0），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y），則有y²=3（x²-4），
直線PM的斜率與直線PN的斜率之積等于

y

x+2

•

y

x-2

=3，
∵PM的斜率的取值范圍是[2，3]，
∴PN的斜率的取值范圍為[1，

3

2

]，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是利用直線PM的斜率與直線PN的斜率之積等于定值．