Question

向量

a

=(

3

sin2x，cos2x)，

b

=(sin2x，sin2x)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

+t(t∈R)．
（1）指出函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

6

]時，函數(shù)f（x）的最大值為

3

，求函數(shù)f（x）的最小值并求此時的x的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=(

3

sin2x，cos2x)，

b

=(sin2x，sin2x)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

+t(t∈R)．由向量數(shù)量積公式，及輔助角公式，我們將函數(shù)f（x）的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知中函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合已知中當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

6

]時，函數(shù)f（x）的最大值為

3

，我們易求出構(gòu)造關(guān)于參數(shù)t的方程，解方程求出t值，即可得到函數(shù)f（x）的最小值并求此時的x的值．

解答：解：（1）∵向量

a

=(

3

sin2x，cos2x)，

b

=(sin2x，sin2x)，
又∵函數(shù)f(x)=

a

•

b

+t(t∈R)
∴f(x)=sin(4x-

π

3

)+t+

3

2

∴f（x）的最小正周期是

π

2

其單調(diào)遞增區(qū)間是[

kπ

2

-

π

24

，

kπ

2

+

5π

24

](k∈Z)
（2）由x∈[-

π

12

，

π

6

]⇒-

2π

3

≤4x-

π

3

≤

π

3

⇒-1≤sin(4x-

π

3

)≤

3

2

，
∴當(dāng)sin(4x-

π

3

)=

3

2

時，
f(x)max=t+

3

=

3

⇒t=0
∴當(dāng)sin(4x-

π

3

)=-1
，4x-

π

3

=-

π

2

⇒x=-

π

24

時，
f(x)min=

3

2

-1

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積，輔助角公式，正弦函數(shù)的定義域、值域、最小正周期、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值，是向量和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，求出正弦型函數(shù)的解析式，熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．