Question

11．曲線$\frac{{x}^{2}}{n}$-y²=1（n＞1）的兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足PF₁+PF₂=2$\sqrt{n+2}$，則△PF₁F₂的面積為1．

Answer 1

分析 設(shè)F₁、F₂是雙曲線的左右焦點(diǎn)，然后得到兩個(gè)關(guān)于|PF₁|與|PF₂|的等式，然后分別求解，最后得出|PF₁||PF₂|=2，解出結(jié)果．

解答 解：不妨設(shè)F₁、F₂是雙曲線的左右焦點(diǎn)，
P為右支上一點(diǎn)，
|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{n}$①
|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{n+2}$②，
由①②解得：
|PF₁|=$\sqrt{n+2}$+$\sqrt{n}$，|PF₂|=$\sqrt{n+2}$-$\sqrt{n}$，
得：|PF₁|²+|PF₂|²=4n+4=|F₁F₂|²，
∴PF₁⊥PF₂，
又由①②分別平方后作差得：
|PF₁||PF₂|=2，
則△PF₁F₂的面積為S=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|=$\frac{1}{2}×2$=1，
故答案為：1

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的應(yīng)用，通過(guò)設(shè)出雙曲線的焦點(diǎn)，建立等式，并求解，本題考查了學(xué)生對(duì)雙曲線知識(shí)的熟練靈活應(yīng)用，屬于中檔題．