Question

（2013•金華模擬）已知函數(shù)f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數(shù)．
（I）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（II）設(shè)函數(shù)g(x)=(p-x)

e

-x

+1，若存在x₀∈[1，e]，使不等式g（x₀）≥lnx₀成立，求實數(shù)p的取值范圍．（e為自然對數(shù)的底）

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的增區(qū)間，由f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，得[1，+∞）為f（x）增區(qū)間的子集，由此得不等式，解出即可；
（II）存在x₀∈[1，e]使g（x₀）≥lnx₀，即存在x₀∈[1，e]使p≥(lnx0-1)ex0+x₀成立，令h（x）=（lnx-1）e^x+x，從而p≥h_min（x）（x∈[1，e]），由（I）可判斷h′（x）＞0，從而h（x）在[1，e]上遞增，進而得h（x）的最小值，從而問題可解；

解答：解：（I）f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0），令f′（x）=0，得x=

1

a

，
所以在（0，

1

a

]上f′（x）≤0，在[

1

a

，+∞）上f′（x）≥0，
所以f（x）在（0，

1

a

]上單調(diào)遞減，在[

1

a

，+∞）上單調(diào)遞增，
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
所以

1

a

≤1，又a＞0，所以a≥1，
所以所求實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）；
（II）存在x₀∈[1，e]使g（x₀）≥lnx₀，即存在x₀∈[1，e]使p≥(lnx0-1)ex0+x₀成立，
令h（x）=（lnx-1）e^x+x，從而p≥h_min（x）（x∈[1，e]），
h′（x）=（

1

x

+lnx-1）e^x+1，
由（I）知當(dāng)a≥1且x≥1時，f（x）=lnx+

1-x

ax

≥f（1）=0成立，
所以

1

x

+lnx-1≥0在[1，e]上成立，
所以h′（x）=(

1

x

+lnx-1)ex+1≥1+1＞0，
所以h（x）=（lnx-1）e^x+x在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以h_min（x）=h（1）=1-e，
所以p≥1-e．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查轉(zhuǎn)化思想，要準(zhǔn)確理解“恒成立問題”與“能成立問題”的區(qū)別聯(lián)系并能恰當(dāng)轉(zhuǎn)化．