Question

有三個(gè)新興城鎮(zhèn)，分別位于A、B、C三點(diǎn)處，且AB=AC=a,BC=2b.今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點(diǎn)處.(建立坐標(biāo)系如下圖)

(1)若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

(2)若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

Answer 1

思路分析:本小題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.

(1)解:由題設(shè)可知，a＞b＞0,記h=，設(shè)P的坐標(biāo)為(0,y)，則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為f(y)=2(b²+y²)+(h-y)²=3(y-)²+h²+2b².

    ∴當(dāng)y=時(shí)，函數(shù)f(y)取得最小值.

    ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0,).

(2）解法一:P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為

g(y)=

    由≥|h-y|解得y≥,記y^*=，于是

    g(y)=

    當(dāng)y^*=≥0，即h≥b時(shí)，在［y^*,+∞)上是增函數(shù)，而|h-y|在(-∞,y^*)上是減函數(shù),由此可知，當(dāng)y=y^*時(shí)，函數(shù)g(y)取得最小值;

    當(dāng)y^*=＜0，即h＜b時(shí)，函數(shù)在［y^*,+∞)上，當(dāng)y=0時(shí)，取得最小值b,而|h-y|在(-∞,y^*)上為減函數(shù)，且|h-y|＞b.可見，當(dāng)y=0時(shí)，函數(shù)g(y)取得最小值.

    ∴當(dāng)h≥b時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,);

    當(dāng)h＜b時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，0).其中h=.

    解法二:P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為

    g(y)=

    由≥|h-y|解得y≥，記y^*=,?于是

    g(y)=

    當(dāng)y^*≥0，即h≥b時(shí)，z=g(y)的圖象如圖(a),因此，當(dāng)y=y^*時(shí)，函數(shù)g(y)取得最小值.

    當(dāng)y^*＜0，即h＜b時(shí)，z=g(y)的圖象如圖(b)，因此，當(dāng)y=0時(shí)，函數(shù)g(y)取得最小值.

    ∴當(dāng)h≥b時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,);?

    當(dāng)h＜b時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，0).

    其中h=.

    解法三:∵在△ABC中,AB=AC=a,

    ∴△ABC的外心M在射線AO上，其坐標(biāo)為(0,),且AM=BM=CM.

    當(dāng)P在射線MA上,記P為P₁；

    當(dāng)P在射線MA的反向延長(zhǎng)線上，記P為P₂.

    若h=≥b〔如圖(c)〕，則點(diǎn)M在線段AO上.

    這時(shí)P到A、B、C三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為P₁C或P₂A，且P₁C≥MC,P₂A≥MA,

    ∴點(diǎn)P與外心M重合時(shí)，P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小.

    若h=＜b〔如圖(d)〕，則點(diǎn)M在線段AO外.

    這時(shí)P到A、B、C三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為P₁C或P₂A，且P₁C≥OC,P₂A≥OC,∴點(diǎn)P與BC邊的中點(diǎn)O重合時(shí)，P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小.

    ∴當(dāng)≥b時(shí)，點(diǎn)P的位置在△ABC的外心(0，)；

    當(dāng)＜b時(shí)，點(diǎn)P的位置在原點(diǎn)O.