Question

在棱長為的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，正方形BCC₁B₁所在平面內(nèi)的動點P到直線D₁C₁、DC的距離之和為4，則的取值范圍是________．

Answer 1

[-2，]
分析：先將在面BCC₁B₁內(nèi)動點P到直線D₁C₁、DC的距離轉(zhuǎn)化為P到點C₁，C的距離，從而動點P到直線C₁、C的距離之和為4，由橢圓的定義即知P點的軌跡是一個橢圓．建立適當?shù)闹苯亲鴺讼�，即可求出點P的軌跡方程；根據(jù)向量的坐標運算求出，的坐標，再代入整理為關(guān)于x的函數(shù)，結(jié)合x的取值范圍即可求出的取值范圍．
解答：解：在面BCC₁B₁內(nèi)到直線D₁C₁、DC的距離即為P到點C₁，C的距離，
故有面BCC₁B₁內(nèi)的點P到直線C₁、C的距離之和為4，
由橢圓的定義即知點的軌跡是橢圓的一部分．
以CC₁所在的直線為x軸，線段CC₁的中心為坐標原點，建立直角坐標系，
則C（-，0），C₁（，0），
∴c=，a=2，b=1．
設(shè)P（x，y），得橢圓的方程為：．
∴，

由P在正方形BCC₁B₁所在平面內(nèi)，
∴x∈[-，]，
故有．
故答案為：[-2，]．
點評：本題主要考查了橢圓的定義及空間中距離的相互轉(zhuǎn)化，解答的易錯點是不會將空間中距離轉(zhuǎn)化為一個平面上的距離，從而不會應(yīng)用橢圓的定義．本題還主要考查平面向量數(shù)量積的運算，考查了運算能力．