Question

已知點(diǎn)P是曲線C：

x2

4

-y²=1上的任意一點(diǎn)，直線l：x=2與雙曲線C的漸近線交于A，B兩點(diǎn)，若

OP

=λ

OA

+μ

OB

，（λ，μ∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列不等式恒成立的是（　�。�

• A、λ²+μ²≥

  1

  2

• B、λ²+μ²≥2
• C、λ²+μ²≤

  1

  2

• D、λ²+μ²≤2

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：確定A，B的坐標(biāo)，根據(jù)

OP

=λ

OA

+μ

OB

，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，可得λμ=

1

4

，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由題意，A（2，1），B（2，-1），
設(shè)P（x，y），
∵

OP

=λ

OA

+μ

OB

，
∴x=2λ+2μ，y=λ-μ
∵P為雙曲線C上的任意一點(diǎn)，
∴

(2λ+2μ)2

4

-(λ-μ)2=1
∴4λμ=1，
∴λμ=

1

4

，
∴λ²+μ²≥2λμ=

1

2

，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．