Question

（2012•臨沂二模）如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓上且EF∥AB，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）當AD的長為何值時，二面角D-EF-B的大小為60°？

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明BE⊥平面ADE，利用面面垂直的判定，可得平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）過點A作AM⊥EF，交EF的延長線于點M，連接DM，則可得∠DMA為二面角D-FE-B的平面角，求出MA的長，即可求得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，DA⊥AB
∴DA⊥平面ABEF，
∵BE?平面ABEF，∴DA⊥BE
∵AB是圓O的直徑，∴BE⊥AE
∵DA∩AE=A，∴BE⊥平面ADE
∵BE?平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）解：過點A作AM⊥EF，交EF的延長線于點M，連接DM．

根據(jù)（Ⅰ）的證明，DA⊥平面ABEF，則DM⊥EF，
∴∠DMA為二面角D-FE-B的平面角，即∠DMA=60°．
過F作AB的垂線，交AB與點H
在Rt△AFH中，∵AH=

1

2

，AF=1，∴FH=

3

2

．
又∵四邊形AMFH為矩形，∴MA=FH=

3

2

．
∵AD=MA•tan∠DMA=

3

2

•

3

=

3

2

．
因此，當AD的長為

3

2

時，二面角D-FE-B的大小為60°．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力