(14分)已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的最小值;
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)對于函數(shù)與
定義域上的任意實數(shù)
,若存在常數(shù)
,使得
和
都成立,則稱直線
為函數(shù)
與
的“分界線”.設(shè)函數(shù)
,
,
與
是否存在“分界線”?若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由.
(Ⅰ)的最小值為
;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)
,
【解析】
試題分析:(Ⅰ)求導(dǎo)得:,由此可得函數(shù)
在
上遞減,
上遞增,
從而得的最小值為
.
(Ⅱ)注意用第(Ⅰ)小題的結(jié)果.由(Ⅰ)知.這個不等式如何用?結(jié)合所在證的不等式可以看出,可以兩端同時乘以
變形為:
,把
換成
得
,在這個不等式中令
然后將各不等式相乘即得.
(Ⅲ)結(jié)合題中定義可知,分界線就是一條把兩個函數(shù)的圖象分開的直線.那么如何確定兩個函數(shù)是否存在分界線?顯然,如果兩個函數(shù)的圖象沒有公共點,則它們有無數(shù)條分界線,如果兩個函數(shù)至少有兩個公共點,則它們沒有分界線.所以接下來我們就研究這兩個函數(shù)是否有公共點.為此設(shè).通過求導(dǎo)可得當(dāng)
時
取得最小值0,這說明
與
的圖象在
處有公共點
.如果它們存在分界線,則這條分界線必過該點.所以設(shè)
與
的“分界線”方程為
.由于
的最小值為0,所以
,所以分界線必滿足
和
.下面就利用這兩個不等式來確定
的值.
試題解析:(Ⅰ)解:因為,令
,解得
,
令,解得
,
所以函數(shù)在
上遞減,
上遞增,
所以的最小值為
.
3分
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知函數(shù)在
取得最小值,所以
,即
兩端同時乘以得
,把
換成
得
,當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立.
由得,
,
,
,
,
.
將上式相乘得
. 9分
(Ⅲ)設(shè).
則.
所以當(dāng)時,
;當(dāng)
時,
.
因此時
取得最小值0,則
與
的圖象在
處有公共點
.
設(shè)與
存在
“分界線”,方程為
.
由在
恒成立,
則在
恒成立.
所以成立.因此
.
下面證明成立.
設(shè),
.
所以當(dāng)時,
;當(dāng)
時,
.
因此時
取得最大值0,則
成立.
所以,
.
14分
考點:1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用;2、函數(shù)與不等式;3、新定義概念.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆廣東省高三高考全真模擬試卷數(shù)學(xué)理卷一 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知函數(shù)(
為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的最小值;
(2)若,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆北京市西城區(qū)高三二�?荚�?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
((本小題滿分14分)
已知函數(shù),其中
為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線
在
處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積;
(Ⅱ)若函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點,且極大值與極小值的積為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年福建省漳州市四地七校高三第四次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知函數(shù)同時滿足如下三個條件:①定義域為
;②
是偶函數(shù);③
時,
,其中
.
(Ⅰ)求在
上的解析式,并求出函數(shù)
的最大值;
(Ⅱ)當(dāng),
時,函數(shù)
,若
的圖象恒在直線
上方,求實數(shù)
的取值范圍(其中
為自然對數(shù)的底數(shù),
).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年福建省高三模擬考試數(shù)學(xué)(理科)試題 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)若為
的極值點,求實數(shù)
的值;
(Ⅱ)若在
上為增函數(shù),求實數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)若時,方程
有實根,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年廣東省高二期末測試數(shù)學(xué)(理) 題型:解答題
(本題滿分14分)已知函數(shù)(
,實數(shù)
,
為常數(shù)).
(Ⅰ)若,求函數(shù)
的極值;
(Ⅱ)若,討論函數(shù)
的單調(diào)性.
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