Question

【題目】已知函數（其中為常數）.

（1）判斷函數的奇偶性；

（2）若不等式在時有解，求實數的取值范圍；

（3）設，是否存在正數，使得對于區(qū)間上的任意三個實數，，，都存在以，，為邊長的三角形？若存在，試求出這樣的的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），偶函數； ，非奇非偶函數；（2）；（3）.

【解析】

（1）先由題意得到函數的定義域，再由函數奇偶性的定義，分別討論與，即可判斷出結果；

（2）先由題意，將問題轉化為在上能成立；求出的最大值，即可得出結果；

（3）先假設存在正數滿足題意；設，求出，將對于區(qū)間上的任意三個實數，，，都存在以，，為邊長的三角形，轉化為，任取，作差得到，分別討論，，，四種情況，得出函數單調性，求出最值，列出不等式求解，即可得出結果.

（1）由題意可得：的定義域為，

又，

當，即時，，所以是偶函數；

當，即時，是非奇非偶函數；

（2）由不等式可得：，即，

所以不等式在時有解，

等價于在上能成立；

又在上單調遞增，所以

因此，只需，解得；

即實數的取值范圍是；

（3）假設存在正數滿足題意；

設，則在上單調遞減，

所以，則；

所以對于區(qū)間上的任意三個實數，，，都存在以，，為邊長的三角形，等價于，

任取，所以，

則，

①當時，，所以，

即在上單調遞增，

所以，，

由得，解得：，所以；

②當時，易得：在上單調遞減，在上單調遞增，所以，

，

由得：，解得：；

所以；

③當時，易得：在在上單調遞減，在上單調遞增，所以，

，

由得：，解得：，

所以；

④當時，，所以，

即在上單調遞減，

所以，，

由得，解得，所以；

綜上，，又為正數，所以.

即存在滿足題意.