Question

如圖，直棱柱ABC-中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，=AC=CB=AB.

（Ⅰ）證明： //平面；

（Ⅱ）求二面角D--E的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）連結(jié)，交于點(diǎn)O，連結(jié)DO，則O為的中點(diǎn)，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以

OD∥，又因?yàn)镺D平面，平面，所以 //平面；

（Ⅱ）由=AC=CB=AB可設(shè)：AB=，則=AC=CB=，所以AC⊥BC，又因?yàn)橹崩庵�，所以以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CA、CB、為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則、、、，，，，，設(shè)平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個(gè)法向量為，同理可得平面的一個(gè)法向量為，則，所以，所以二面角D--E的正弦值為.

本題第（Ⅰ）問(wèn)，證明直線與平面平行,主要應(yīng)用線面平行的判定定理，一般情況下，遇到中點(diǎn)想中位線的思想要用上，同時(shí)用上側(cè)面為平行四邊形的條件；第（Ⅱ）問(wèn)，求二面角的大小，若圖形中容易建立空間直角坐標(biāo)系，則就求兩個(gè)半平面的法向量，從需得出結(jié)果.對(duì)第（Ⅰ）問(wèn)，證明線面平行時(shí),容易漏掉條件；對(duì)第（Ⅱ）問(wèn)，二面角的大小與兩個(gè)法向量夾角相等或互補(bǔ)的關(guān)系，一部分同學(xué)容易得出它們相等.

【考點(diǎn)定位】本小題考查空間中直線與平面平行等位置關(guān)系的證明、二面角的求解，考查同學(xué)們的邏輯推理能力、空間想象能力，考查分析問(wèn)題以及解決問(wèn)題的能力.