Question

已知cos(α-

π

4

)=

12

13

，0＜α＜

π

4

，求

cos2α

cos( π 4 +α)

．

Answer 1

分析：利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡已知的等式，得到cosα+sinα的值，然后把得到關(guān)系式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，可得出（cosα-sinα）²的值，由α的范圍，得到cosα-sinα大于0，開方可得cosα-sinα的值，然后把所求的式子分子利用二倍角的余弦函數(shù)公式及平方差化簡，將cosα+sinα及cosα-sinα的值代入求出分子的值，分母利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，將cosα-sinα的值代入求出分母的值，進而求出所求式子的值．

解答：解：由cos（α-

π

4

）=

2

2

（cosα+sinα）=

12

13

，
得到cosα+sinα=

12 2

13

，
兩邊平方得：（cosα+sinα）²=

288

169

，
∴1+2cosαsinα=

288

169

，即2cosαsinα=

119

169

，
∴（cosα-sinα）²=1-2cosαsinα=

50

169

，
又0＜α＜

π

4

，∴cosα-sinα＞0，
∴cosα-sinα=

5 2

13

，
∴cos2α=cos²α-sin²α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=

120

169

，
cos（α+

π

4

）=

2

2

（cosα-sinα）=

5

13

，
則

cos2α

cos(α+ π 4 )

=

120

169

×

13

5

=

24

13

．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，同時注意角度的范圍．