Question

【題目】已知函數(shù)，其中為非零實數(shù).

（1）求的極值；

（2）當時，在函數(shù)的圖象上任取兩個不同的點、.若當時，總有不等式成立，求正實數(shù)的取值范圍：

（3）當時，設、，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）求導，對分和兩種情況討論，分析函數(shù)的單調性，即可得出函數(shù)的極值；

（2）由，得出，構造函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)或常函數(shù)，解不等式，即可得出實數(shù)的取值范圍；

（3）時，構造函數(shù)，把看做主元，求導判斷即可．

（1），其中為非零實數(shù)，，.

①當時，，，函數(shù)單調遞減；時，，函數(shù)單調遞增.

所以，函數(shù)有極小值；

②當時，，，函數(shù)單調遞增；時，，函數(shù)單調遞減.

所以，函數(shù)有極大值.

綜上所述，當時，函數(shù)有極小值；

當時，函數(shù)有極大值；

（2）當時，，，

當時，總有不等式成立，

即，構造函數(shù)，

由于，，

則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)或常函數(shù)，

，，解不等式，解得.

由題意可知，，因此，正實數(shù)的取值范圍是；

（3）時，根據(jù)（1），函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.

構造函數(shù)，

當時，.

故函數(shù)在上單調遞增，

同理當時，，則函數(shù)在上單調遞減，

所以，函數(shù)的最大值為，故.

因此，成立.