Question

已知等差數列{a_n}的首項為正整數，公差為正偶數，且a₅≥10，S₁₅＜255．
（1）求通項a_n；
（2）若數列a₁，a₃，，，，…，…，成等比數列，試找出所有的n∈N^*，使為正整數，說明你的理由．

Answer 1

解：（1）因為 a₅≥10，S₁₅＜255，設{a_n}的公差為d，則有 ． …（2分）
化簡可得 ，∴2d＜5．
再由{a_n}的首項為正整數，公差為正偶數，∴d=2，…（3分）
∴a₁=2…（4分）
故．…（5分）
（2）由（1）可知a₁=2，a₃=6，
∴公比，…（6分）
∴，…（8分）
∴2•3ⁿ⁺¹=2b_n，，故=．…（9分）
此時當n=1，3，5時符合要求；當n=2，4時不符合要求．
由此可猜想：當且僅當n=2k-1，k∈N^*時，C_n為正整數．證明如下：…（10分）
逆用等比數列的前n項和公式有：．…（11分）
當n=2k，k∈N^*時，上式括號內為奇數個奇數之和，為奇數，此時…（12分）
當n=2k-1，k∈N^*時，上式括號內為偶數個奇數之和，為偶數，此時
故滿足要求的所有n為n=2k-1，k∈N^*．…（13分）
分析：（1）由條件可得2d＜5，再由{a_n}的首項為正整數，公差為正偶數，故有d=2，結合條件得a₁=2，由此求得通項a_n ．
（2）由（1）可知a₁=2，a₃=6，由此求出公比的值，求得 ，故=，當n=
2k-1，k∈N^*時，上式括號內為偶數個奇數之和，為偶數，此時．當n=2k，k∈N^*時，經檢驗不符合條件．
點評：本題主要考查等比數列的定義和性質，等差數列的通項公式，前n項和公式的應用，屬于中檔題．