Question

已知sinα+cosβ=

1

3

，sinβ-cosα=

1

2

，則sin（α-β）=

-

59

72

．

Answer 1

分析：把已知的兩等式左右兩邊平方，利用完全平方公式展開后，分別記作①和②，然后將①+②，左邊利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，右邊計(jì)算，整理后即可求出sin（α-β）的值．

解答：解：∵sinα+cosβ=

1

3

，sinβ-cosα=

1

2

，
∴（sinα+cosβ）²=

1

9

，（sinβ-cosα）²=

1

4

，
即sin²α+2sinαcosβ+cos²β=

1

9

①，sin²β-2sinβcosα+cos²α=

1

4

②，
①+②得：sin²α+2sinαcosβ+cos²β+sin²β-2sinβcosα+cos²α
=（sin²α+cos²α）+（cos²β+sin²β）+2（sinαcosβ-sinβcosα）
=1+1+2sin（α-β）=2+2sin（α-β）=

13

36

，
則sin（α-β）=-

59

72

．
故答案為：-

59

72

點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．