Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（a+1）x²+x-$\frac{1}{3}$（a∈R）．
（1）若a＜0，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）根據(jù)a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出在[0，2]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（1）f′（x）=a（x-1）（x-$\frac{1}{a}$），
∵a＜0，∴$\frac{1}{a}$＜1，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{a}$＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f（x）_極小值=f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{-{2a}^{2}+3a-1}{{6a}^{2}}$，f（x）_極大值=f（1）=-$\frac{1}{6}$（a-1）；
（2）f（1）=-$\frac{1}{6}$（a-1），f（2）=$\frac{1}{3}$（2a-1），f（0）=-$\frac{1}{3}$＜0，
a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[0，1]遞增，在[1，2]遞減，
故f（0）=-$\frac{1}{3}$＜0，f（1）=-$\frac{1}{6}$（a-1）＞0，f（2）=$\frac{1}{3}$（2a-1）≤0，
∴f（x）在[0，1]，（1，2]上各有1個(gè)零點(diǎn)，
即在[0，2]上2個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，是一道中檔題．