Question

【題目】已知橢圓的上、下、左、右四個(gè)頂點(diǎn)分別為x軸正半軸上的某點(diǎn)滿足.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在圓上,且在第一象限,過作圓的切線交橢圓于,求證:△的周長是定值．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：

(1) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為可知，可得橢圓方程;(2)法一:設(shè)，結(jié)合橢圓方程可得，在圓中, 是切點(diǎn), ，同理可得,則易得結(jié)論;法二:設(shè) 的方程為，聯(lián)立橢圓方程,由根與系數(shù)的關(guān)系式,結(jié)合弦長公式求出，再求出，則結(jié)論易得.

試題解析：

(1)設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為,可知,

.

因此橢圓的方程是.

(2)方法1:設(shè),則,

=,

∵,∴,

在圓中, 是切點(diǎn),

∴==,

∴,

同理,∴,

因此△的周長是定值．

方法2:設(shè)的方程為,

由,得,

設(shè),則,

∴==

=

,

∵與圓相切,∴,即,

∴,

∵,

∵,∴,

同理可得,

∴,

因此△的周長是定值．