Question

已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}中，a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，
（1）求a_n
（2）設(shè)b_n=log

1

2

a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出方程，結(jié)合條件求出等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比，再求出a_n；
（2）由（1）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算求出b_n，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，
因?yàn)閍₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，
所以

a1q+a1q2+a1q3=28 2(a1q2+2)=a1q+a1q3

，解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

，
因?yàn)榈缺葦?shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，所以

a1=2 q=2

，
則a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）由（1）得，b_n=log

1

2

a_n=b_n=log

1

2

2ⁿ=-n，
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1+2+3+…+n）=-

n(1+n)

2

，
即S_n=-

n(1+n)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查方程思想和計(jì)算能力．