【題目】在四棱錐中,底面ABCD是邊長為6的菱形,且
,
平面ABCD,
,F是棱PA上的一個動點,E為PD的中點.
Ⅰ
求證:
.
Ⅱ
若
.
求PC與平面BDF所成角的正弦值;
側(cè)面PAD內(nèi)是否存在過點E的一條直線,使得該直線上任一點M與C的連線,都滿足
平面BDF,若存在,求出此直線被直線PA、PD所截線段的長度,若不存在,請明理由.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).
【解析】
證明
平面PAC即可得出
;
建立空間坐標(biāo)系,求出平面BDF的法向量
,計算
和
的夾角的余弦值即可;
取PF的中點G,證明平面
,即可得出結(jié)論.
證明:
平面ABCD,
平面ABCD,
,
四邊形ABCD是菱形,
,
又,
平面PAC,
平面PAC,
平面PAC,
又平面PAC,
.
解:
設(shè)AC,BD交于點O,以O為坐標(biāo)原點,以OB,OC,平面ABCD過點O的垂線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則0,
,
0,
,
,
3,
,
,
,
0,
,
,
設(shè)平面BDF的法向量為y,
,則
,即
,
令可得
,即
2,
,
,
.
與平面BDF所成角的正弦值為
,
.
取PF的中點G,連接FG,CG,
,G分別是PD,PF的中點,
,又
平面BDF,
平面BDF,
平面BDF,
,O分別是AG,AC的中點,
,又
平面BDF,
平面BDF,
平面BDF,
又平面CEG,
平面CEG,
,
平面
平面BDF,
側(cè)面PAD內(nèi)存在過點E的一條直線EG,使得該直線上任一點M與C的連線,
都滿足平而BDF,
此直線被直線PA、PD所截線段為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017高考新課標(biāo)Ⅲ,理19)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓:
的左、右焦點分別為
,
,下頂點為
,橢圓
的離心率是
,
的面積是
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)直線與橢圓
交于
,
兩點(異于
點),若直線
與直線
的斜率之和為1,證明:直線
恒過定點,并求出該定點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,
實數(shù),函數(shù)
,函數(shù)
.
(Ⅰ)令,當(dāng)
時,試討論函數(shù)
在其定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時,令
,是否存在實數(shù)
,使得對于函數(shù)
定義域中的任意實數(shù)
,均存在實數(shù)
,有
成立?若存在,求出實數(shù)
的取值集合;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某區(qū)“創(chuàng)文明城區(qū)”簡稱“創(chuàng)城”
活動中,教委對本區(qū)A,B,C,D四所高中校按各校人數(shù)分層抽樣調(diào)查,將調(diào)查情況進行整理后制成如表:
學(xué)校 | A | B | C | D |
抽查人數(shù) | 50 | 15 | 10 | 25 |
“創(chuàng)城”活動中參與的人數(shù) | 40 | 10 | 9 | 15 |
注:參與率是指:一所學(xué)!皠(chuàng)城”活動中參與的人數(shù)與被抽查人數(shù)的比值
假設(shè)每名高中學(xué)生是否參與“創(chuàng)城”活動是相互獨立的.
Ⅰ
若該區(qū)共2000名高中學(xué)生,估計A學(xué)校參與“創(chuàng)城”活動的人數(shù);
Ⅱ
在隨機抽查的100名高中學(xué)生中,從A,C兩學(xué)校抽出的高中學(xué)生中各隨機抽取1名學(xué)生,求恰有1人參與“創(chuàng)城”活動的概率;
Ⅲ
若將表中的參與率視為概率,從A學(xué)校高中學(xué)生中隨機抽取3人,求這3人參與“創(chuàng)城”活動人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,∠DAB=60°,PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E,F,G分別是AB,PB,CD的中點.
(1)求證:AC⊥PB;
(2)求證:GF∥平面PAD;
(3)求點G到平面PAB的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個定點,
的距離之比為定值
的點的軌跡是圓”.后來,人們將這個圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系
中,
,
,點
滿足
.設(shè)點
的軌跡為
,下列結(jié)論正確的是( )
A.的方程為
B.在上存在點
,使得
C.當(dāng),
,
三點不共線時,射線
是
的平分線
D.在三棱錐中,
面
,且
,
,
,該三棱錐體積最大值為12
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(I)討論的單調(diào)性;
(II)若恒成立,證明:當(dāng)
時,
.
(III)在(II)的條件下,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在底面為正方形的四棱錐P—ABCD中,AB=2,PA=4,PB=PD=,AC與BD相交于點O,E,G分別為PD,CD中點,
(1)求證:EO//平面PBC;
(2)設(shè)線段BC上點F滿足BC=3BF,求三棱錐E—OFG的體積.
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