已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，1]，且同時(shí)滿足：①f(1)＝3；②f(x)≥2對(duì)一切x∈[0，1]恒成立；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，則f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)－2，

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；

(Ⅱ)試比較與的大�。�

(Ⅲ)某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)(n∈N)時(shí)，有f(x)＜2x＋2，由此他提出猜想：對(duì)一切x∈(0，1]，都有f(x)＜2x＋2，請(qǐng)你判斷此猜想是否正確，并說(shuō)明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)設(shè)x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，則x2－x1∈[0，1]．

　　∴f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]≥f(x2－x1)＋f(x1)－2．

　　∴f(x2)－f(x1)≥f(x2－x1)－2≥0．∴f(x1)≤f(x2)．　　　2分

　　則當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(0)≤f(x)≤f(1)．　　　3分

　　在③中，令x1＝x2＝0，得f(0)≤2，由②得f(0)≥2，∴f(0)＝2．　　　4分

　　∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最小值為2；

　　當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最大值為3．　　　6分

　　(Ⅱ)在③中，令x1＝x2＝，得　　　8分

　　∴

　　則．　　　11分

　　(Ⅲ)對(duì)x∈[0，1]，總存在n∈N，滿足＜x≤．　　　13分

　　由(Ⅰ)與(Ⅱ)，得，又2x＋2＞2·＋2＝＋2．

　　∴f(x)＜x＋2．

　　綜上所述，對(duì)任意x∈[0，1]．f(x)＜x＋2恒成立．　　　16分


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a．
（I）如果對(duì)任意x∈[1，2]，f′（x）＞a2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）設(shè)函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2判斷下列三個(gè)代數(shù)式：①x1+x2+a，②
x
2
1
+
x
2
2
+a2，③
x
3
1
+
x
3
2
+a3
中有幾個(gè)為定值？并且是定值請(qǐng)求出；若不是定值，請(qǐng)把不是定值的表示為函數(shù)g（a），并求出g（a）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

問(wèn)題1：已知函數(shù)f(x)=
x
1+x
，則f(
1
10
)+f(
1
9
)+…+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=
19
2
19
2
．
我們?nèi)舭衙恳粋�(gè)函數(shù)值計(jì)算出，再求和，對(duì)函數(shù)值個(gè)數(shù)較少時(shí)是常用方法，但函數(shù)值個(gè)數(shù)較多時(shí)，運(yùn)算就較繁鎖．觀察和式，我們發(fā)現(xiàn)f(
1
2
)+f(2)、…、f(
1
9
)+f(9)、f(
1
10
)+f(10)可一般表示為f(
1
x
)+f(x)=
1
x
1+
1
x
+
x
1+x
=
1
1+x
+
x
1+x
=
1+x
1+x
=1為定值，有此規(guī)律從而很方便求和，請(qǐng)求出上述結(jié)果，并用此方法求解下面問(wèn)題：
問(wèn)題2：已知函數(shù)f(x)=
1
2x+
2
，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P是M，N的中點(diǎn)．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)（n∈N*，n≥2），求
lim
n→∞
4Sn-9Sn
4Sn+1+9Sn+1
的值；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn＜m（Sn+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x+1-a
a-x
(x≠a)
（1）當(dāng)f（x）的定義域?yàn)?span id="bd6unw0" class="MathJye">[a+
1
2
，a+1]時(shí)，求f（x）的值域；
（2）試問(wèn)對(duì)定義域內(nèi)的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是否為一個(gè)定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=x2+|（x-a）f（x）|，若
1
2
≤a≤
3
2
，求g（x）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•嘉定區(qū)一模）（理）已知函數(shù)f(x)=log2
2
x
1-x
，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）圖象上兩點(diǎn)．
（1）若x1+x2=1，求證：y1+y2為定值；
（2）設(shè)Tn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求Tn關(guān)于n的解析式；
（3）對(duì)（2）中的Tn，設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，當(dāng)n≥2時(shí)，an=4Tn+2，問(wèn)是否存在角a，使不等式(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)…(1-
1
an
)＜
sinα
2n+1
對(duì)一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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