Question

3．已知a，b∈R，直線y=ax+b+$\frac{π}{2}$與函數(shù)f（x）=tanx的圖象在x=-$\frac{π}{4}$處相切，設(shè)g（x）=e^x+bx²+a，若在區(qū)間[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m²-2恒成立，則實(shí)數(shù)m（　�。�

• A． 有最小值-e
• B． 有最小值e
• C． 有最大值e
• D． 有最大值e+1

Answer 1

分析 求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，解方程可得b=-1，a=2，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，可得最值，解不等式即可得到m的最值．

解答 解：∵$f（x）=tanx=\frac{sinx}{cosx}$，∴$f'（x）=\frac{{cos{x^2}-sinx•（-sinx）}}{{{{cos}^2}x}}=\frac{1}{{{{cos}^2}x}}$，
∴$a=f'（-\frac{π}{4}）=2$，又點(diǎn)$（-\frac{π}{4}，-1）$在直線$y=ax+b+\frac{π}{2}$上，
∴$-1=2•（-\frac{π}{4}）+b+\frac{π}{2}$，∴b=-1，
∴g（x）=e^x-x²+2，g'（x）=e^x-2x，g''（x）=e^x-2，
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g''（x）≥g''（1）=e-2＞0，
∴g'（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴g'（x）≥g（1）=e-2＞0，∴g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}m≤g{（x）_{min}}=g（1）=e+1\\{m^2}-2≥g{（x）_{max}}=g（2）={e^2}-2\end{array}\right.⇒m≤-e$或e≤m≤e+1，
∴m的最大值為e+1，無最小值，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．