Question

15．已知a＞0，二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$+$\frac{2a}{x}$）⁶展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為240，則${∫}_{0}^{\frac{π}{a}}$sin（x-$\frac{π}{3}$）dx=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)整理，再令x的次數(shù)為0，求出a，再由定積分的運(yùn)算法則，即可求得

解答 解：二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$+$\frac{2a}{x}$）⁶展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：T_k+1=${C}_{6}^{k}（2a）^{k}{x}^{\frac{6-3k}{2}}$
令6-3k=0，則k=2．
即有C₆³•（2a）³=240，即a=2．
則${∫}_{0}^{\frac{π}{a}}$sin（x-$\frac{π}{3}$）dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（sin（x-$\frac{π}{3}$））dx=-cos（x-$\frac{π}{3}$）|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=-（cos$\frac{π}{6}$-cos$\frac{π}{3}$）=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用：求特定項(xiàng)，同時(shí)考查定積分的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．