Question

楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家、數學教育家，他的數學研究與教育工作的重點是在計算技術方面，楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質與組合數的性質有關．圖是一個7階的楊輝三角．
給出下列五個命題：
①記第i（i∈N^*）行中從左到右的第j（j∈N^*）個數為a_ij，則數列{a_ij}的通項公式為C_i^j；
②第k行各數的和是2^k；
③n階楊輝三角中共有

(n+1)2

2

個數；
④n階楊輝三角的所有數的和是2ⁿ⁺¹-1．
其中正確命題的序號為

②④

．

Answer 1

分析：據第i行各個數是（a+b）ⁱ的展開式的二項式系數，故可求數列{a_ij}的通項公式為C_i^j-1；
據各行的所有數和是各個二項式的二項式系數和，（a+b）ⁿ的二項式系數和為2ⁿ得解．第k行各數的和是2^k；第k行共有k+1個數，可求n階楊輝三角中數的個數；

解答：解：據第i行各個數是（a+b）ⁱ的展開式的二項式系數，故有數列{a_ij}的通項公式為C_j-1ⁱ，故①錯；各行的所有數和是各個二項式的二項式系數和，第k行各數的和是2^k．，故②正確；第k行共有k+1個數，從而n階楊輝三角中共有1+2++(n+1)=

(n+1)(n+2)

2

個數，故③錯；n階楊輝三角的所有數的和是1+2+2²+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1，故④正確
故答案為：②④

點評：本題考查二項式系數、二項式系數和公式、二項式系數性質等．屬于基礎題