Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），過動點M（a，0）且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點A，B，且|AB|≤2p．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，且p=4，求點N到直線l的距離．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設A、B的坐標和直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，由判別式大于0列出不等式，及x₁+x₂的和x₁x₂的表達式，由弦長公式求得AB的長度的表達式，根據(jù)|AB|的范圍列出不等式，聯(lián)立兩個不等式求出a的范圍；
（2）由（1）和條件得方程：x²-2（a+4）x+a²=0，由韋達定理得x₁+x₂的和x₁x₂的表達式，求出AB的中點坐標，再求出線段AB的垂直平分線方程，令y=0求出N的坐標，由點到直線的距離公式求出點N到直線l的距離．

解答： 解：（1）設直線l與拋物線兩個不同的交點坐標為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則過動點M（a，0）且斜率為1的直線l的方程為y=x-a，
將y=x-a代入y²=2px，得x²-2（a+p）x+a²=0，
所以△=4（a+p）²-4a²＞0，即（a+p）²-a²＞0，①
且x₁+x₂=2（a+p），x1x2=a2，
因為|AB|≤2p，
所以|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8p(2a+p)

≤2p，②，
由①②得，-

p

2

＜a≤-

p

4

，
所以實數(shù)a的取值范圍是(-

p

2

，-

p

4

]；
（2）由（1）得，將y=x-a代入y²=2px得，x²-2（a+p）x+a²=0，
又p=4，則上式為x²-2（a+4）x+a²=0，
則x₁+x₂=2（a+4），x1x2=a2，
所以AB的中點坐標D（a+4，4），
則線段AB的垂直平分線方程是：y-4=-（x-a-4），即y=-x+a+8，
令y=0代入得x=a+8，則N的坐標是（a+8，0），
所以點N到直線l的距離d=

|a+8-0-a|

2

=4

2

．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，弦長公式、點到直線的距離公式，韋達定理等，考查運用解析幾何的方法解決數(shù)學問題的能力．