Question

已知A、B兩城相距100km，在兩地之間距A城xkm處D地建一核電站給A、B兩城供電，為保證城市安全．核電站距市距離不得少于10km．已知供電費用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數λ=0.3．若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月．
（1）把月供電總費用y表示成x的函數，并求定義域；
（2）核電站建在距A城多遠，才能使供電費用最�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）A城供電費用y₁=0.3×20x²，B城供電費用y₂=0.3×10（100-x）²，總費用為y=y₁+y₂，根據x對應的實際意義，即可得到x的取值范圍，從而得到函數的定義域；
（Ⅱ）因為函數y是二次函數，由二次函數的性質可得，當x=-

b

2a

時，函數y取得最小值，從而得到答案．

解答：解：（1）∵核電站距城市的距離不得少于10km，
又∵A、B兩座城市相距100km，
∴x的取值范圍為10≤x≤90，
∵供電費用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數λ=0.3，
又∵A城市供電量為20億度/月，B城市為10億度/月，
∴A城供電費用y₁=0.3×20x²，B城供電費用y₂=0.3×10（100-x）²，
∴總費用為y=6x²+3（100-x）²，
∴月供電總費用y=6x²+3（100-x）²，定義域為[10，90]；
（2）由（1）可知，y=6x²+3（100-x）²=9x²-600x+30000，
∴對稱軸為x=-

-600

2×9

=

100

3

，圖象開口向上，
∴則當x=

100

3

km時，y取得最小值，
答：當核電站建在距A城

100

3

km時，才能使供電總費用最�。�

點評：本題主要考查函數模型的選擇與應用，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．本題選擇的數學模型為二次函數，對于二次函數要注意數形結合的應用，注意抓住二次函數的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．屬于中檔題．