Question

已知動圓過定點F₁（-3，0），且與圓O：（x-3）²+y²=100相內切，
（1）求動圓的圓心的軌跡曲線C．
（2）若P是C上的一點，F(xiàn)₂為圓O的圓心且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）設切點為N，動圓與圓O內切，則F₂，M，N三點共線，且|MF₁|=|MN|，所以M到定點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為定值10＞|F₁F₂|=6，由此能求出M的軌跡方程．
（2）設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，則r₁+r₂=2a=10⇒r₁²+2r₁r₂+r²=100．在△PF₁F₂中，由勾股定理得r₁²+r₂³-r₁r₂=4c²=36，由此能求出△F₁PF₂的面積．

解答：解：（1）設切點為N，動圓與圓O內切，
則F₂，M，N三點共線，且|MF₁|=|MN|
∴|MF₁|+|MF₂|=|MF₁|+|MF₂|=|NF₂|
即M到定點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為定值10＞|F₁F₂|=6
故M的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓
易知c=3，a=5，b=4
M的軌跡方程是

x2

25

+

y2

16

=1．
（2）設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，
則r₁+r₂=2a=10⇒r₁²+2r₁r₂+r²=100（1）
又在△PF₁F₂中，由勾股定理得r₁²+r₂²-r₁r₂=4c²=36（2）
（1）-（2）得r1r2=

64

3

∴S△F1PF2=

1

2

r1r2=

32

3

點評：本題考查點的軌跡的求法和計算△F₁PF₂的面積．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．