Question

15．已知圓M：x²+（y-4）²=4，點(diǎn)P是直線l：x-2y=0上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．
（1）當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為$2\sqrt{3}$時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若△PAM的外接圓為圓N，試問(wèn)：當(dāng)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓N是否過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）求線段AB長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出半徑r=2和圓心M坐標(biāo)（0，4），并可設(shè)P（2b，b），從而由條件便可求出|MP|=$\sqrt{（0-2b）^{2}+（4-b）^{2}}=4$，這樣便可求出b的值，即得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）容易求出圓N的圓心坐標(biāo)（b，$\frac{b+4}{2}$），及半徑，從而可得出圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程，化簡(jiǎn)后可得到（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0，從而可建立關(guān)于x，y的方程，解出x，y，便可得出圓N所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）可寫(xiě)出圓N和圓M的一般方程，聯(lián)立這兩個(gè)一般方程即可求出相交弦AB的直線方程，進(jìn)而求出圓心M到直線AB的距離，從而求出弦長(zhǎng)$AB=4\sqrt{1-\frac{4}{5（b-\frac{4}{5}）^{2}+\frac{64}{5}}}$，顯然可看出b=$\frac{4}{5}$時(shí)，AB取最小值，并求出該最小值．

解答 解：（1）由題意知，圓M的半徑r=2，M（0，4），設(shè)P（2b，b），
∵PA是圓M的一條切線，∴∠MAP=90°，
∴$|MP|=\sqrt{{{（0-2b）}^2}+{{（4-b）}^2}}=\sqrt{A{M^2}+A{P^2}}=4$，解得$b=0，b=\frac{8}{5}$，
∴P（0，0）或$P（\frac{16}{5}，\frac{8}{5}）$．
（2）設(shè)P（2b，b），∵∠MAP=90°，∴經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，
其方程為${（x-b）^2}+{（y-\frac{b+4}{2}）^2}=\frac{{4{b^2}+{{（b-4）}^2}}}{4}$，
即（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0，
由$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y-4=0}\\{{x^2}+{y^2}-4y=0}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}}\right.$，
∴圓過(guò)定點(diǎn)（0，4），$（\frac{8}{5}，\frac{4}{5}）$．
（3）因?yàn)閳AN方程為${（x-b）^2}+{（y-\frac{b+4}{2}）^2}=\frac{{4{b^2}+{{（b-4）}^2}}}{4}$，
即x²+y²-2bx-（b+4）y+4b=0，
圓M：x²+（y-4）²=4，即x²+y²-8y+12=0，
②-①得：圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為：2bx+（b-4）y+12-4b=0，
點(diǎn)M到直線AB的距離$d=\frac{4}{{\sqrt{5{b^2}-8b+16}}}$，
相交弦長(zhǎng)即：$AB=2\sqrt{4-{d^2}}=4\sqrt{1-\frac{4}{{5{b^2}-8b+16}}}=4\sqrt{1-\frac{4}{{5{{（b-\frac{4}{5}）}^2}+\frac{64}{5}}}}$，
當(dāng)$b=\frac{4}{5}$時(shí)，AB有最小值$\sqrt{11}$．

點(diǎn)評(píng) 考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程的形式，圓心和切點(diǎn)的連線垂直于切線，以及直徑所對(duì)圓周角為直角，以及兩圓的相交弦所在直線方程的求法，配方求二次函數(shù)最值的方法，直角三角形邊的關(guān)系．