如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,作EF⊥PB交PB于點F。
(1)證明PA//平面EDB;
(2)證明PB⊥平面EFD;
解(1)證明:連結AC,AC交BD于O,連結EO。
∵底面ABCD是正方形,∴點O是AC的中點
在中,EO是中位線,∴PA // EO………………理2分、文3分
而平面EDB且
平面EDB,
所以,PA // 平面EDB…………………………理4分、文6分
(2)證明:
∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴
∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線,
∴。 ①………………………理6分、文8分
同樣由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC。
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC。
而平面PDC,∴
。 ②
由①和②推得平面PBC。………………理7分、文10分
而平面PBC,∴
又且
,所以PB⊥平面EFD。……理8分、文12分
(3)解:由(2)知,,
故是二面角C—PB—D的平面角。………………理9分
由(2)知,。
設正方形ABCD的邊長為a,則
,
。
在中,
。
在中,
,∴
。
所以,二面角C—PB—D的大小為�!�12分
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