(1)用二項(xiàng)式定理證明1110-1能被100整除.
(2)求9192被100除所得的余數(shù).
(1)證明:∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+ �。�1010+ �。�100(108+ ∴1110-1能被100整除. (2)解法一:(100-9)92= 展開(kāi)式中前92項(xiàng)均能被100整除,只需求最后一項(xiàng)除以100的余數(shù). ∵992=(10-1)92= 前91項(xiàng)均能被100整除,后兩項(xiàng)和為-919,因余數(shù)為正,可從前面的數(shù)中分離出1 000,結(jié)果為1 000-919=81, 故9192被100除可得余數(shù)為81. 解法二:(90+1)92= 前91項(xiàng)均能被100整除,剩下兩項(xiàng)和為92×90+1=8 281,顯然8 281除以100所得余數(shù)為81. 思路分析:解決利用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題關(guān)鍵是判斷所證式子與除數(shù)之間的聯(lián)系,要掌握好對(duì)式子的拆分,如本例的第(1)小題,可以利用1110=(10+1)10展開(kāi)式進(jìn)行證明,第(2)小題則可利用9192=(100-9)92展開(kāi)式,或利用(90+1)92展開(kāi)式進(jìn)行求解. |
利用二項(xiàng)式定理可以求余數(shù)和整除性問(wèn)題,通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式,且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系. |
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