如圖，A點在x軸上方，△ABC外接圓半徑R=
14
3
3
，∠ABC=1200，BC=10，弦BC在x軸上且y軸垂直平分BC邊，
（1）求△ABC外接圓的標準方程；
（2）求過點A且以B，C為焦點的橢圓方程．
分析：（1）由正弦定理可求AC=2Rsin120°，然后由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos120°可求AB，結(jié)合三角函數(shù)的定義可求A的坐標，從而可求AC的垂直平分線的方程，結(jié)合已知可求△ABC外接圓的圓心和半徑，即可求解
（2）由題意可求2a=AB+AC，2c然后結(jié)合b2=a2-c2可求b，即可求解橢圓方程
解答：（1）解：∵△ABC外接圓半徑R=
14
3
3
，∠ABC=1200，BC=10，
由正弦定理可得，AC=2Rsin120°=14
由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos120°
即196=AB2+100-20AB×(-
1
2
)
解可得AB=6
由三角函數(shù)的定義可得，x=-5-6×cos60°=-8，y=6sin60°=3
3

∵C（5，0）
∴KAC=
3
3
5-(-8)
=
3
3
13

∴AC的垂直平分線的方程為y-
3
3
2
=
13
3
3
(x+
3
2
)
∵弦BC在x軸上且y軸垂直平分BC邊
∴△ABC外接圓的圓心為AC與y軸的交點
在直線AC的方程中，令x=0可得y=
11
3
3
即圓心（0，
11
3
3
），半徑R=
(0+8)2+(
11
3
3
-3
3
)2
=
196
3

∴△ABC外接圓的標準方程x2+(y-
11
3
3
)2=
196
3

（2）由題意可得，AB+AC=6+14=20，2c=10
∴a=10，c=5
∴b2=a2-c2=75
∴過點A且以B，C為焦點的橢圓的方程為
x2
100
+
y2
75
=1
點評：本題主要考查了三角形的 正弦定理及余弦定理在求解三角形中的應用，直線位置關系在求解直線方程中的應用及利用橢圓的定義求解橢圓方程，屬于知識的綜合應用
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x2
9
+
y2
5
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（I）寫出點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達式（不要求證明）；
（II）若以原點O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護區(qū)，“L路徑”不能進入保護區(qū)，請確定點P的位置，使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最�。�

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(1)求外接圓的標準方程

(2)求過點且以為焦點的橢圓方程

 

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如圖，A點在x軸上方，△ABC外接圓半徑，弦BC在x軸上且y軸垂直平分BC邊，
（1）求△ABC外接圓的標準方程；
（2）求過點A且以B，C為焦點的橢圓方程．

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