Question

（1）已知直線l在x、y軸上的截距的絕對值相等，且到點（1，2）的距離為

2

，求直線l的方程；
（2）求經(jīng)過直線l₁：x+y-5=0，l₂：x-y-3=0的交點且平行于直線2x+y-3=0的直線方程．

Answer 1

考點：直線的一般式方程與直線的平行關系,點到直線的距離公式

專題：直線與圓

分析：（1）當直線l經(jīng)過原點時，設方程為y=kx，由于點（1，2）到直線距離為

2

，可得

|k-2|

k2+1

=

2

，解得k即可；
當直線l不經(jīng)過原點時，設直線l的方程

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，可得

|a|=|b| |b+2a-ab| a2+b2 = 2

，解得即可；
（2）聯(lián)立

x+y-5=0 x-y-3=0

，解得交點（4，1）．設平行于直線2x+y-3=0的直線方程為2x+y+m=0，把交點代入上述直線方程即可得出．

解答： 解：（1）當直線l經(jīng)過原點時，設方程為y=kx，
∵點（1，2）到直線距離為

2

，
∴

|k-2|

k2+1

=

2

，解得k=-2±

6

．
此時直線l的方程為y=(-2±

6

)x．
當直線l不經(jīng)過原點時，設直線l的方程

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
則

|a|=|b| |b+2a-ab| a2+b2 = 2

，解得

a=1 b=1

，

a=1 b=-1

，

a=-3 b=3

，

a=5 b=5

．
∴直線l的方程為y=x+3，y=x-1，y=-x+1，y=-x+5．
綜上可得：直線l的方程為y=x+3，y=x-1，y=-x+1，y=-x+5，y=(-2±

6

)x．
（2）聯(lián)立

x+y-5=0 x-y-3=0

，解得

x=4 y=1

，交點（4，1）．
設平行于直線2x+y-3=0的直線方程為2x+y+m=0，
把點（4，1）代入上述直線方程可得：8+1+m=0，解得m=-9．
∴要求的直線方程為：2x+y-9=0．

點評：本題考查了直線的截距式、點到直線的距離公式、平行線之間的斜率關系、直線的交點，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．