Question

如圖，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=
2a，PA⊥平面ABCD，PD與平面ABCD成30°角．
（Ⅰ）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；
（Ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證直線與直線垂直，可先證直線與平面垂直，即PD⊥平面BAE，利用線面垂直的判定，需尋找線線垂直，故可證．
（Ⅱ）利用空間向量，構建空間直角坐標系，分別求出平面PAB與平面PCD的法向量，從而可求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．
解答：（Ⅰ）證明：∵∠BAD=90°，∴BA⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，BA?底面ABCD
∴BA⊥PA．
∵PA∩AD=A，
∴BA⊥平面PAD．
∵PD?平面PAD．
∴PD⊥BA．
又∵PD⊥AE，且BA∩AE=A，
∴PD⊥平面BAE
∵BE?平面BAE
∴PD⊥BE，即BE⊥PD．
（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標系，
∵底面ABCD為直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC
∴CB⊥AB，
∵PA⊥底面ABCD，CB?底面ABCD
∴CB⊥PA，
∵PA∩AB=A
∴CB⊥平面PAB．
∴是平面PAB的法向量，且=（0，a，0）．
設平面PCD的一個法向量為，則．
而=（-a，a，0），
∴由=0．
得
∴
令y=1，∴
設向量與所成角為θ，
則cosθ=．
∴平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值為．
點評：本題重點考查線面垂直的判定與性質，考查面面角，解題的關鍵是熟練掌握線面垂直的判定與性質，掌握平面法向量的求解方法．