Question

函數(shù)y=|x-3|+|x+1|的值域是________，y=sin²x+4cosx+1的值域是________．

Answer 1

[4，+∞）    [-3，5]
分析：（1）本題是含有兩個絕對值的不等式值域問題，考查的實質(zhì)是分段函數(shù)值域，需要采用定義法去掉絕對值．
（2）本題中含有兩個名的三角函數(shù)，需要統(tǒng)一，可以借助三角部分存在的恒等式sin²x+cos²x=1轉(zhuǎn)化．
解答：（1）解：x≥3時，y=|x-3|+|x+1|=（x-3）+（x+1）=2x-2，∴y≥4；
-1＜x＜3時，y=|x-3|+|x+1|=（3-x）+（x+1）=4；
x≤-1時，y=|x-3|+|x+1|=-（x-3）-（x+1）=2-2x，∴y≥4，
所以，y≥4
故答案為：[4，+∞）．
（2）y=sin²x+4cosx+1=1-cos²x+4cosx+1
=-cos²x+4cosx-4+6=-（cosx-2）²+6
∵-1≤cosx≤1
∴-3≤cosx-2≤-1
兩邊平方，得1≤（cosx-2）²≤9，∴-9≤-（cosx-2）²≤-1
∴-3≤-（cosx-2）²+6≤5
∴該函數(shù)的值域為[-3，5]．
故答案為：[-3，5]．
點評：1．函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的，其類型依解析式的特點分可分三類：
（1）求常見函數(shù)值域；
（2）求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；
（3）求由常見函數(shù)作某些“運算”而得函數(shù)的值域
2．通常求函數(shù)值域如下方法：
①直接法； ②配方法； ③逆求法（反求法）； ④換元法； ⑤三角有界法；
⑥基本不等式法； ⑦單調(diào)性法； ⑧數(shù)形結(jié)合； ⑨導(dǎo)數(shù)法