已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交雙曲線右支于A，B兩點(diǎn)，且
AF2
=3
F2B
，若△ABF1是以B為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率等于（　　）
分析：將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為長度關(guān)系，然后利用雙曲線的定義分別將邊長表示為a的關(guān)系，然后利用余弦定理建立a，c的方程，從而求出雙曲線的離心率．
解答：解：因?yàn)?span id="uh64iqa" class="MathJye">
AF2
=3
F2B
，所以AF2=3F2B，設(shè)BF2=m，則AF2=3m，所以BF2=AB=4m．
又BF1-BF2=3m=2a，即m=
2a
3
，
所以BF1=4m=
8a
3
，
又AF1-AF2=AF1-3m=2a，所以AF1=2a+3m=4a．
由余弦定理得cos∠ABF1=
AB2+F1B2-F1A2
2AB?F1B
=
(
8a
3
)2+(
8a
3
)2-(4a)2
2×(
8a
3
)2
=-
1
8
．
又|F1F2|2=F1B2+F2B2-2F1B?F2Bcos?∠ABF1，
即4c2=(
8a
3
)2+(
2a
3
)2-2×
8a
3
×
2a
3
(-
1
8
)=8a2，
所以c2=2a2，即c=
2
a，即離心率e=
c
a
=
2
．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的定義以及余弦定理的應(yīng)用，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為長度關(guān)系，利用余弦定理求出邊長和a，c之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．本題運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
7
=1，直線l過其左焦點(diǎn)F1，交雙曲線的左支于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn)，△ABF2的周長為20，則此雙曲線的離心率e=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，且該雙曲線的離心率為
5
，則該雙曲線的漸近線方程為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，點(diǎn)M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且
OP
•
OQ
=0．問：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否為定值？若是請(qǐng)求出該定值，若不是請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R），則該直線過定點(diǎn)
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為y=
4
3
x，則雙曲線的離心率為
5
3
5
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）滿足| 
a1
b
2
 |=0，且雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的方程為
 
．

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