Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ，兩邊同時除以2ⁿ，即可證明
（2）由（1）可求

an

2n

，進(jìn)而可求a_n

解答：證明：（1）∵a_n=2a_n-1+2ⁿ，兩邊同時除以2ⁿ，可得

an

2n

=

an-1

2n-1

+1
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，又

a1

21

=

1

2

∴數(shù)列{

an

2n

}是以

1

2

為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知

an

2n

=

1

2

+n-1=n-

1

2

∴an=(n-

1

2

)•2n

點(diǎn)評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是在已知遞推公式的兩邊同時除以2ⁿ．