Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），點(diǎn)P在直線l：x+y-4=0上，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．
（ I）求圓C和直線l的極坐標(biāo)方程；
（ II）射線OP交圓C于R，點(diǎn)Q在射線OP上，且滿足|OP|²=|OR|•|OQ|，求Q點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4，利用互化公式可得圓C的極坐標(biāo)方程．點(diǎn)P在直線l：x+y-4=0上，利用互化公式可得直線l的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）設(shè)P，Q，R的極坐標(biāo)分別為（ρ₁，θ），（ρ，θ），（ρ₂，θ），由${ρ_1}=\frac{4}{sinθ+cosθ}，{ρ_2}=2$，又|OP|²=|OR|•|OQ|，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）圓C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4，∴圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2．
點(diǎn)P在直線l：x+y-4=0上，直線l的極坐標(biāo)方程ρ=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$．
（Ⅱ）設(shè)P，Q，R的極坐標(biāo)分別為（ρ₁，θ），（ρ，θ），（ρ₂，θ），
因?yàn)?{ρ_1}=\frac{4}{sinθ+cosθ}，{ρ_2}=2$，
又因?yàn)閨OP|²=|OR|•|OQ|，即${ρ_1}^2=ρ•{ρ_2}$，∴$ρ=\frac{{{ρ_1}^2}}{ρ_2}=\frac{16}{{{{（sinθ+cosθ）}^2}}}×\frac{1}{2}$，
∴ρ=$\frac{8}{1+sin2θ}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．