Question

4．已知點(diǎn)A（-3，0），B（3，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|．
（1）若點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；
（2）若點(diǎn)Q在直線l₁：x+y+3=0上，直線l₂經(jīng)過點(diǎn)Q且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)M，當(dāng)|QM|取最小值時(shí)，求直線QM的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），利用動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|，求解曲線的方程C的方程．
（2）求出圓的圓心與半徑，求出圓心M到直線l₁的距離，求出QM|的最小值，求出直線CQ的方程，得Q坐標(biāo)，設(shè)切線方程為y+4=k（x-1），圓心到直線的距離$d=\frac{|4k-4|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=4$，求出k求解直線方程．

解答 解：（1）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），…（1分）
因?yàn)閮啥�點(diǎn)A（-3，0），B（3，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|，
所以（x+3）²+y²=4[（x-3）²+y²]，…（4分）
即（x-5）²+y²=16．
所以此曲線的方程為（x-5）²+y²=16．…（6分）
（2）因?yàn)椋▁-5）²+y²=16的圓心坐標(biāo)為C（5，0），半徑為4，
則圓心M到直線l₁的距離為$\frac{|5+3|}{{\sqrt{2}}}=4\sqrt{2}$，…（7分）
因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線l₁：x+y+3=0上，過點(diǎn)Q的直線l₂與曲線C：（x-5）²+y²=16只有一個(gè)公共點(diǎn)M，所以QM|的最小值為$\sqrt{（4\sqrt{2}{）^2}-{4^2}}=4$．…（9分）
直線CQ的方程為x-y-5=0，
聯(lián)立直線l₁：x+y+3=0，可得Q（1，-4），…（10分）
設(shè)切線方程為y+4=k（x-1），即kx-y-k-4=0，…（11分）
故圓心到直線的距離$d=\frac{|4k-4|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=4$，得k=0，切線方程為y=-4；…（13分）
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為x=1，…（14分）
因此直線QM的方程x=1或y=-4．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．