Question

求函數(shù)f(x)=5

3

cos2x+

3

sin2x-4sinxcosx(

π

4

≤x≤

7π

24

）的最小值，并求其單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為3

3

-4sin(2x-

π

3

)，由x的范圍可得 sin(2x-

π

3

)∈[

1

2

，

2

2

]，由此求得函數(shù)f（x）取最小值為3

3

-2

2

．再由y=sin(2x-

π

3

)在[

π

4

，

7π

24

]上遞增，可得函數(shù)f（x）的減區(qū)間．

解答：解：f(x)=5

3

•

1+cos2x

2

+

3

•

1-cos2x

2

-2sin2x=3

3

-2sin2x+2

3

cos2x
=3

3

-4sin(2x-

π

3

)．…（4分）
∵

π

4

≤x≤

7π

24

，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

π

4

，∴sin(2x-

π

3

)∈[

1

2

，

2

2

]．…（6分）
當(dāng)2x-

π

3

=

π

4

時(shí)，即 x=

7π

24

時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值為3

3

-2

2

．…（8分）
∵y=sin(2x-

π

3

)在[

π

4

，

7π

24

]上遞增，…（10分）
∴f(x)在[

π

4

，

7π

24

]上是減函數(shù)，故函數(shù)f（x）的減區(qū)間為[

π

4

，

7π

24

]． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性和值域，屬于中檔題．