Question

若函數(shù)y=a^x（a＞0，a≠1）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為9，最小值為m，且函數(shù)g（x）=

1-4m

x

在（0，+∞）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)y=a^x（a＞0，a≠1）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為9，最小值為m，所以得到

a-1=9 a2=m

，或

a-1=m a2=9

，這樣解方程組即得a，m的值，再根據(jù)g（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，便有g(shù)′（x）＜0，這樣可求出m的范圍，根據(jù)m的范圍即可確定前面求出的m的值．

解答： 解：因?yàn)楹瘮?shù)y=a^x是單調(diào)函數(shù)，所以該函數(shù)的最值取在端點(diǎn)處；
∴

a-1=9 a2=m

，或

a-1=m a2=9

，解得a=

1

9

，m=

1

81

，或a=3，m=

1

3

；
g′（x）=-

1-4m

x2

，∵g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，∴1-4m＞0，m＜

1

4

；
∴a=

1

9

．
故答案為：

1

9

．

點(diǎn)評(píng)：考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間上最值的特點(diǎn)，以及函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系．