Question

6．空間點到平面的距離定義如下：過空間一點作平面的垂線，這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距離．已知平面α，β，γ兩兩互相垂直，點A∈α，點A到β，γ的距離都是3，點P是α上的動點，滿足P到β的距離是到P到點A距離的2倍，則點P的軌跡上的點到γ的距離的最小值是3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 原題等價于在直角坐標系中，點A（3，3），P第一象限內(nèi)的動點，滿足P到Y(jié)軸的距離是到P到點A 距離的2倍，則點P的軌跡上的點到x軸的距離的最小值是多少．

解答 解：設(shè)P（x，y），
P的軌跡方程為x=2$\sqrt{（x-3）^{2}+（y-3）^{2}}$，
x²=4（x-3）²+4（y-3）²，
∴（y-3）²=$\frac{1}{4}$[x²-4（x-3）²]=-$\frac{3}{4}$x²+6x-9，
∴當x=4時，（y-3）²取得最大值3．
∵（y-3）²=3，∴y=3+$\sqrt{3}$，或y=3-$\sqrt{3}$，
∴點P 的軌跡上的點到γ 的距離的最小值是3-$\sqrt{3}$．
故答案為：3-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查平面和平面間的位置關(guān)系，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，把空間幾何問題巧妙地轉(zhuǎn)化為平面幾何問題．