Question

13．求矩陣$[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{1}&{3}\end{array}]$的特征值及對應(yīng)的特征向量．

Answer 1

分析 先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．

解答 解：特征多項式f（λ）═$|\begin{array}{l}{λ-3}&{-1}\\{-1}&{λ-3}\end{array}|$=（λ-3）²-1=λ²-6λ+8（3分）
由f（λ）=0，解得λ₁=2，λ₂=4（6分）
將λ₁=2代入特征方程組，得$\left\{\begin{array}{l}-x-y=0\\-x-y=0\end{array}$
⇒x+y=0，可取$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$為屬于特征值λ₁=2的一個特征向量（8分）
同理，當λ₂=4時，由$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\-x+y=0\end{array}$⇒x-y=0，
所以可取$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$為屬于特征值λ₂=4的一個特征向量．
綜上所述，矩陣$[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{1}&{3}\end{array}]$有兩個特征值λ₁=2，λ₂=4；
屬于λ₁=2的一個特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，屬于λ₁=4的一個特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$．（10分）

點評 本題主要考查來了矩陣特征值與特征向量的計算等基礎(chǔ)知識，屬于矩陣中的基礎(chǔ)題．