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14.已知函數(shù)f(x)=(2x2-3x)•ex
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若方程(2x-3)•ex=ax有且僅有一個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)小于0,求解單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)分離變量,通過函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù),利用單調(diào)性求解函數(shù)的極值,推出結(jié)果即可.

解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由題可得:f′(x)=(2x2+x-3)•ex…(1分)
令f′(x)<0,得 2x2+x-3<0,解得:32x1…(3分)
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是321.…(4分)
(Ⅱ)∵方程2x3ex=ax有且僅有一個(gè)實(shí)根
∴方程(2x2-3x)•ex=a有且僅有一個(gè)非零實(shí)根,即方程f(x)=a,(x≠0)有且僅有一個(gè)實(shí)根.
因此,函數(shù)y=f(x),(x≠0)的圖象與直線y=a有且僅有一個(gè)交點(diǎn).…(6分)
結(jié)合(Ⅰ)可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是321,單調(diào)遞增區(qū)間是321+
∴函數(shù)f(x)的極大值是f32=9e32,極小值是f(1)=-e.…(9分)
又∵f0=f32=0且x<0時(shí),f(x)>0.∴當(dāng)a9e32或a=0或a=-e時(shí),
函數(shù)y=f(x),(x≠0)的圖象與直線y=a有且僅有一個(gè)交點(diǎn).…(11分)
∴若方程2x3ex=ax有且僅有一個(gè)實(shí)根,
實(shí)數(shù)a的取值范圍是{e0}9e32+.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值,考查分析問題解決問題的能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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③已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù),若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=f(n),則該數(shù)列是等差數(shù)列;
④數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=qn,則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=\frac{{q(1-{q^n})}}{1-q}
正確的命題的序號(hào)是①②③.

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(2)若cn=nbn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

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