Question

15．如圖，四棱錐A-BCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M為AD上一點，EM⊥平面ACD．
（Ⅰ）求證：EM∥平面ABC．
（Ⅱ）若CD=2BE=2，求點D到平面EMC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC的中點F，連接BF，證明BF⊥平面ACD，結(jié)合EM⊥平面ACD，所以EM∥BF，再結(jié)合線面平行的判定定理得到EM∥面ABC；
（Ⅱ）由等面積法求出點D到平面EMC的距離．

解答 證明：（Ⅰ）取AC的中點F，連接BF，
因為AB=BC，所以BF⊥AC，
又因為CD⊥平面ABC，所以CD⊥BF，
所以BF⊥平面ACD，…（3分）
因為EM⊥平面ACD，
所以EM∥BF，
因為EM?面ABC，BF?平面ABC，
所以EM∥平面ABC； …（6分）
解：（Ⅱ）因為EM⊥平面ACD，EM?面EMC，
所以平面CME⊥平面ACD，平面CME∩平面ACD=CM，
過點D作直線DG⊥CM，則DG⊥平面CME，…（9分）
由已知CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD=2BE，可得AE=DE，
又EM⊥AD，
所以M為AD的中點，
在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{2}BC=2\sqrt{2}$，
在Rt△ADC中，$AD=\sqrt{C{D^2}+A{C^2}}=2\sqrt{3}$，
${S_{△CDM}}=\frac{1}{2}{S_{△ACD}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
在△DCM中，$CM=\frac{1}{2}AD=\sqrt{3}$，
由等面積法知$\frac{1}{2}×CM×DG=\sqrt{2}$，
所以$DG=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
即點D到平面EMC的距離為$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，點D到平面EMC的距離，其中熟練掌握空間線面平行或垂直的判定、性質(zhì)、定義、幾何特征是解答此類問題的關(guān)鍵．