函數(shù)f(x)是冪函數(shù),圖象過點(2,8),定義在實數(shù)R上的函數(shù)y=F(x)是奇函數(shù),當(dāng)x>0時,F(xiàn)(x)=f(x)+1,求F(x)在R上的表達(dá)式;并畫出圖象.
分析:利用待定系數(shù)求出冪函數(shù)的表達(dá)式,然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求F(x)的表達(dá)式即可.
解答:解:設(shè)y=x
α,(x>0);
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將(2,8)代入得α=3,
當(dāng)x>0,F(xiàn)(x)=f(x)+1=x
3+1,
當(dāng)x<0,-x>0,F(xiàn)(-x)=(-x)
3+1=-x
3+1,
∵y=F(x)是奇函數(shù),∴F(-X)=-F(X)∴F(x)=x
3-1,
∵y=F(x)是定義在實數(shù)R上的奇函數(shù),
∴F(0)=0.
∴
F(x)=.
圖象見右圖:
點評:本題主要考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì),以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,要求熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.