Question

數(shù)列{a_n}，{b_n}(n＝1，2，3…)由下列條件確定：①a₁＜0，b₁＞0；②當(dāng)k≥2時(shí)，a_k與b_k滿足：當(dāng)a_k－1＋b_k－1≥0時(shí)，a_k＝a_k－1，b_k＝；當(dāng)a_k－1＋b_k－1＜0時(shí)，a_k＝，b_k＝b_k－1．

(Ⅰ)若a₁＝－1，b₁＝1，寫(xiě)出a₂，a₃，a₄，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)在數(shù)列{b_n}中，若b₁＞b₂＞…b_s(s≥3，且s∈N^*)，試用a₁，b₁表示b_kk∈{1，2，…，s}；

(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下，設(shè)數(shù)列{c_n}(n∈N^*)滿足c₁＝，c_n≠0，c_n+1＝－(其中m為給定的不小于2的整數(shù))，求證：當(dāng)n≤m時(shí)，恒有c_n＜1．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4949/0020/33c1bbd5831e1cd6e800cfb894b11d85/C/Image218.gif" width=72 height=22>，所以，． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4949/0020/33c1bbd5831e1cd6e800cfb894b11d85/C/Image221.gif" width=106 height=22>，所以，． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4949/0020/33c1bbd5831e1cd6e800cfb894b11d85/C/Image224.gif" width=106 height=41>，所以，． 　　所以．2分 　　由此猜想，當(dāng)時(shí)，，則，．3分 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　�、佼�(dāng)時(shí)，已證成立． 　�、诩僭O(shè)當(dāng)(，且)猜想成立， 　　即，，． 　　當(dāng)時(shí)，由，得，則，． 　　綜上所述，猜想成立． 　　所以． 　　故．6分 　　(Ⅱ)解：當(dāng)時(shí)，假設(shè)，根據(jù)已知條件則有， 　　與矛盾，因此不成立，7分 　　所以有，從而有，所以． 　　當(dāng)時(shí)，，， 　　所以；8分 　　當(dāng)時(shí)，總有成立． 　　又， 　　所以數(shù)列()是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，， 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4949/0020/33c1bbd5831e1cd6e800cfb894b11d85/C/Image265.gif" width=46 height=24>，所以．10分 　　(Ⅲ)證明：由題意得 　　． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4949/0020/33c1bbd5831e1cd6e800cfb894b11d85/C/Image269.gif" width=104 height=41>，所以． 　　所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列．11分 　　因此要證，只須證． 　　由，則＜，即．12分 　　因此． 　　所以． 　　故當(dāng)，恒有．14分