已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=-6時,函數(shù)f(x)定義域和值域都是[1,
b
2
],求b的值;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上與x軸有兩個不同的交點,求b2+ab+b+1的取值范圍.
考點:二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)當(dāng)a=-6時,函數(shù)f(x)=x2+ax-6圖象的對稱軸為直線x=3,結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性,分當(dāng)2<b≤6時,當(dāng)6<b≤10時,當(dāng)b>10時,三種情況討論滿足條件的b值,最后綜合討論結(jié)果,可得答案.
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上與x軸有兩個不同的交點,即函數(shù)f(x)=x2+ax+b的兩個零點為x1,x2(0<x1<x2<1),即f(0)=b=x1x2>0,f(1)=1+a+b=(1-x1)(1-x2)>0,進(jìn)而結(jié)合基本不等式可得b2+ab+b+1的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)當(dāng)a=-6時,函數(shù)f(x)=x2+ax-6圖象的對稱軸為直線x=3,
故f(x)在區(qū)間[1,3]單調(diào)遞減,在區(qū)間[3,+∞)單調(diào)遞增.
①當(dāng)2<b≤6時,f(x)在區(qū)間[1,
b
2
]上單調(diào)遞減;故
f(1)=
b
2
f(
b
2
)=1
,無解;
②當(dāng)6<b≤10時,f(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減,[3,
b
2
]上單調(diào)遞增,且f(1)≥f(
b
2
),故
f(1)=
b
2
f(3)=1
,解得b=10;
③當(dāng)b>10時,f(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減,[3,
b
2
]上單調(diào)遞增,且f(1)<f(
b
2
),故
f(
b
2
)=
b
2
f(3)=1
,無解.
綜上所述,b的值為10.
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b的兩個零點為x1,x2(0<x1<x2<1),
則f(x)=(x-x1)(x-x2).
又f(0)=b=x1x2>0,f(1)=1+a+b=(1-x1)(1-x2)>0
∴b(1+a+b)=f(0)f(1),
而0<f(0)f(1)=x1x2(1-x1)(1-x2)≤(
x1+1-x1
2
)2(
x2+1-x2
2
)2
=
1
16
,
由x1<x2,
故0<f(0)f(1)<
1
16

即b2+ab+b+1的取值范圍為(1,
17
16
).
點評:本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),函數(shù)的零點,基本不等式,是函數(shù)圖象和性質(zhì)與不等式的綜合應(yīng)用,難度中檔.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)計算:0.16-
1
2
-(-
1
8
0+16
3
4
+0.25
1
2
;
(2)計算:(lg2)2+lg2•lg5+lg5.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c
(1)b=0,c=-1,求f(x)>0的x范圍;
(2)若不等式f(x)<0的解集為{x|1<x<3},求f(x)的解析式;
(3)若對于(2)中的f(x),不等式f(x)>mx-1對于x∈R恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點O為極點,以x軸非負(fù)半軸為極軸,與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系.設(shè)曲線C的參數(shù)方程為
x=t2
y=2t
(t為參數(shù)),直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsin(
π
3
-θ)=
3

(Ⅰ)寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線C與直線l的交點為A、B兩點,求△OAB(O為坐標(biāo)原點)的面積.

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設(shè)全集U=R,A={x|0<x<8},B={x|1≤x≤10},求:
(1)A∩B;     
(2)A∪B;        
(3)∁RB.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

為了解某社區(qū)家庭的月均用水量(單位:噸),現(xiàn)從該社區(qū)隨機(jī)抽查100戶,獲得每戶某年的月均用水量,并制作了頻率分布表和頻率分布直方圖(如圖).
(1)分別求出頻率分布表中a、b的值;
(2)設(shè)A1、A2、A3是戶月均用水量為[0,2)的居民代表,B1、B2是戶月均用水量為[2,4]的居民代表.現(xiàn)從這五位居民代表中任選兩人參加水價論證會,請列舉出所有不同的選法,并求居民代表B1、B2至少有一人被選中的概率.
分組頻數(shù)頻率
[0,0.5)50.05
[0.5,1)80.08
[1,1.5)220.22
[1.5,2)a
[2,2.5)200.20
[2.5,3)120.12
[3,3.5)b
[3.5,4]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=n-an-7,n∈N*
(1)證明:{an-1}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{Sn}的通項公式,并求出n為何值時,Sn取得最小值,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1-x
-
1+x

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)判斷函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)還是減函數(shù)?請說明理由;
(3)已知a>0,a≠1,解關(guān)于x不等式:f[loga(2x+1)]+2cos
12
<0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點,M(0,b),N(a,0),
MF1
MF2
=2,|
F2N
|=1,
(1)求橢圓方程;
(2)過圓x2+y2=1上任一點P作該圓的切線,交橢圓于A,B兩點,求|AB|的取值范圍.

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