Question

函數(shù)y=lg（3-4x+x²）的定義域為M，函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1（x∈M）．
（1）求M；
（2）求函數(shù)f（x）的值域；
（3）當(dāng)x∈M時，若關(guān)于x的方程4^x-2^x+1=b（b∈R）有實數(shù)根，求b的取值范圍，并討論實數(shù)根的個數(shù)．

Answer 1

解：（1）x²-4x+3＞0，（x-1）（x-3）＞0，x＜1或x＞3，
∴M={x|x＜1或x＞3}（2分）

（2）設(shè)t=2^x，∵x＜1或x＞3，
∴t∈（0，2）∪（8，+∞）（3分）
f（x）=g（t）=t²-2t=（t-1）²-1，（4分）
當(dāng)t∈（0，1）時g（t）遞減，當(dāng)t∈（1，2）時g（t）遞增，g（1）=-1，g（0）=g（2）=0，
所以t∈（0，2）時，g（t）∈[-1，0）（6分）
當(dāng)t∈（8，+∞）時g（t）遞增，g（8）=48，所以g（t）∈（48，+∞）（7分）
故f（x）的值域為[-1，0）∪（48，+∞）（8分）

（3）b=4^x-2^x+1，即b=f（x），方程有實根
∴函數(shù)y₁=b與函數(shù)y₂=f（x）（x∈M）的圖象有交點．（10分）
由（2）知f（x）∈[-1，0）∪（48，+∞），
所以當(dāng)b∈[-1，0）∪（48，+∞）時，方程有實數(shù)根．（12分）
下面討論實根個數(shù)：
①當(dāng)b=-1或當(dāng)b∈（48，+∞）時，方程只有一個實數(shù)根（13分）
②當(dāng)b∈（-1，0）時，方程有兩個不相等的實數(shù)根（14分）
③當(dāng)b∈（-∞，-1）∪[0，48]時，方程沒有實數(shù)根（15分）
分析：（1）令x²-4x+3＞0，解出其解集即為M；
（2）用換元法t=2^x，由（1）知x＜1或x＞3得出t∈（0，2）∪（8，+∞），問題變?yōu)榍髖=t²-2t在（0，2）∪（8，+∞）上的值域問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其值域即可．
（3）方程4^x-2^x+1=b（b∈R）有實根的問題可以轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚�函數(shù)y₁=b與函數(shù)y₂=f（x）（x∈M）的圖象有交點，研究圖象交點個數(shù)的問題根據(jù)函數(shù)y₂=f（x）（x∈M）的圖象進行討論，得出b的范圍．
點評：本題考點是函數(shù)與方程的綜合運用，綜合考查解一元二次不等式求函數(shù)的定義域，換元法求函數(shù)的值域，以及含參數(shù)的方程恒成立時求其范圍，綜合性很強，難度相對較大，技巧性強，做完此題后要好好總結(jié)解決本題的方法與技巧．