Question

1．若（x²-a）（x+$\frac{1}{x}}$）¹⁰的展開(kāi)式中x⁶的系數(shù)為30，則$\int_0^a$（3x²+1）dx=10．

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出（x+$\frac{1}{x}}$）¹⁰展開(kāi)式中含x⁴項(xiàng)、x⁶項(xiàng)的系數(shù)，得出（x²-a）（x+$\frac{1}{x}}$）¹⁰的展開(kāi)式中x⁶的系數(shù)，再列出方程求出a的值，利用定積分求出結(jié)論．

解答 解：（x+$\frac{1}{x}}$）¹⁰展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：
T_r+1=${C}_{10}^{r}$•x^10-r•x^-r=${C}_{10}^{r}$•x^10-2r；
令10-2r=4，解得r=3，所以x⁴項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{10}^{3}$；
令10-2r=6，解得r=2，所以x⁶項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{10}^{2}$；
所以（x²-a）（x+$\frac{1}{x}$）¹⁰的展開(kāi)式中x⁶的系數(shù)為：${C}_{10}^{3}$-a${C}_{10}^{2}$=30，
解得a=2．
∴$\int_0^a$（3x²+1）dx=$（{x}^{3}+x）{|}_{0}^{2}$=10．
故答案為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題問(wèn)題，考查定積分知識(shí)的運(yùn)用，是中檔題．